Laplaces regel

økonomisk-ordbog

Laplaces regel er en metode, der giver dig mulighed for hurtigt at beregne determinanten af ​​en kvadratisk matrix med dimension 3 × 3 eller større ved hjælp af en rekursiv ekspansionsrække.

Med andre ord faktoriserer Laplaces regel den indledende matrix i lavere dimensionelle matricer og justerer dens fortegn baseret på elementets position i matrixen.

Denne metode kan udføres ved hjælp af rækker eller kolonner.

Anbefalede artikler: matricer, matrixtypologier og determinant af en matrix.

Laplaces regelformel

Givet enhver matrix Zmxn af dimension mxn,hvor m = n, udvides det i forhold til den i-te række, så:

  • jeg sagdeer determinanten opnået ved at eliminere den i-te række og den i-te kolonne i Zmxn.

  • Mijer i, j-th mindre. Determinanten jeg sagdei funktion af Mijkaldes i, j-th cofaktoraf matrixen Zmxn.
  • til er tegnindstillingen for positionen.

Teoretisk eksempel på Laplaces styre

Vi definerer A3 × 3 som:

  1. Lad os starte med det første element a11. Vi river de rækker og kolonner, der udgør a11. De elementer, der forbliver uden rist, vil være den første determinant mindre ganget med a11.

2. Vi fortsætter med det andet element i den første række, det vil sige a12. Vi gentager processen: vi river de rækker og kolonner, der indeholder a12.

Vi justerer minorens fortegn:

Vi tilføjer den anden determinant mindretil det forrige resultat, og vi danner en udvidelsesserie sådan, at:

3. Vi fortsætter med det tredje element i den første række, det vil sige a13. Vi gentager processen: vi ridser rækken og kolonnen, der indeholder a13.

Vi tilføjer den tredje determinant mindre til det tidligere resultat, og vi udvider udvidelsesserien således, at:

Da der ikke er flere elementer tilbage i den første række, så lukker vi den rekursive proces. Vi beregner determinanterne mindreårige.

På samme måde som elementer fra første række er brugt, kan denne metode også anvendes med kolonner.

Laplaces regel praktisk eksempel

Vi definerer A3 × 3 som:

1. Lad os starte med det første element r11 = 5. Vi river de rækker og kolonner, der udgør a11 = 5. De elementer, der forbliver uden rist, vil være den første determinant mindre ganget med a11 = 5.

2. Vi fortsætter med det andet element i den første række, det vil sige r12 = 2. Vi gentager processen: vi river de rækker og kolonner, der indeholder r12 = 2.

Vi justerer minorens fortegn:

Vi tilføjer den anden determinant mindre til det forrige resultat, og vi danner en udvidelsesserie sådan, at:

3. Vi fortsætter med det tredje element i den første række, det vil sige r13 = 3. Vi gentager processen: vi ridser rækken og kolonnen, der indeholder r13 = 3.

Vi tilføjer den tredje determinant mindre til det tidligere resultat, og vi udvider udvidelsesserien således, at:

Determinanten for R3 × 3-matricen er 15.

Tags.:  berømte-sætninger passerer vidste du hvad 

Interessante Artikler

add